Kegel- und Kegelstumpfabwicklung

Will man einem Kegel bzw. Kegelstumpf als Hohlkörper herstellen, ihn also aus Pappe oder Blech (hier Wiederverwendung eines Weißblechkanisters) biegen will, muss man die Oberfläche abwickeln, die dann aus dem Basismaterial ausgeschnitten werden muss. Die Konstruktion der Abwicklung kann man auf verschiedene Weisen vornehmen, bei geringer Genauigkeitsanforderung geht es (fast) rein grafisch, soll es genauer werden, dann muss man etwas rechnen.

1. Grundlegende mathematische Definitionen des Kegels bzw. Kegelstumpfs.

1.1 Die Grundgrößen

Ein Kegel ist in der Schnittzeichnung beschrieben durch den Hauptradius R und einer Linie, Mantellinie genannt, die zum Scheitelpunkt führt. Der Kegelstumpf wird in der Höhe durch den Nebenradius r begrenzt, der Abstand zwischen R und r ist die Höhe h und die (beim Stumpf virtuelle) Gesamthöhe H. Die Mantellinie m wird durch die beiden Radien aufgespannt. Die Mantellinie bzw. deren Verlängerung schneidet die Mittelachse mit dem Öffnungswinkel β.

Es gibt noch eine technische Angabe: Das Kegelverhältnis C 1:x, z. B. 1:50.
Das ist die Durchmesserdifferenz bezogen auf die Länge: C = (2 ⋅  (R − r)) / h.

Der Kegel(-stumpf) selbst entsteht durch die Drehung (Rotation) des Grundbilds um die Mittelachse M.
Man sieht, dass fünf Größen (R, r, h, m, β) zusammenhängen, drei davon müssen vorgegeben werden, die beiden anderen sind dann festgelegt und müssen berechnet oder konstruiert werden.

1.2 Weitere Eigenschaften

Es gibt noch drei wichtige Punkte: Den Scheitelpunkt S und die Endpunkte B und C der beiden Radien, die alle auf der Mantellinie liegen. Zieht man parallel zu M durch B und C die Hilfslinien b und c, dann sieht man, dass der Öffnungswinkel sich wiederholt, an C in derselben Lage und in B als Gegenwinkel. Im Vorgriff auf das Drehen (s. u.) sieht man schon hier, welcher Winkel am Oberschlitten einzustellen ist.
Hier wird immer vom regulären Kegelstumpf ausgegangen, die Radien R und r stehen senkrecht auf der Mittellinie, oder umgekehrt, die Mittellinie steht senkrecht auf den durch R und r durch Rotation aufgespannten Schnittebenen mit dem Kegel. Bilden diese Schnittebenen keinen rechten Winkel mit M, dann ergeben sich Ellipsen als Schnittlinien, die nicht trivial abgewickelt werden können. Hierzu wird keine Lösung angeboten.

2. Grafische Lösung oder besser Rechnen?

Man kann versuchen, die Abwicklung (bis auf eine Ausnahme) rein grafisch zu konstruieren. Ist der Kegel(-stumpf) klein und man kann auf A4 oder A3 im Maßstab 1:1 oder gar in Vergrößerung arbeiten, sollte das funktionieren. Aber auf alle Fälle gilt: Rechnen erhöht die Genauigkeit merklich!

Hinweis: in den folgenden Formeln steht x für die Rechnertaste Multiplikation.

3. Der Normalfall: Gegeben sind die Höhe h und die beiden Radien R und r

Gesucht wird der Abstand des Scheitelpunkts S zu r, letztendlich die Gesamthöhe H des Kegels. In Bild 2 sieht man, dass durch die auf die Hilfslinie c projizierte Höhe h und (R − r) ein rechtwinkliges Dreieck besteht, das durch dieselben Winkel mathematisch ähnlich dem "großen" Dreieck aus den Linien H, R und der Strecke S-B ist, es gelten dieselben Längenverhältnisse. Damit gilt R / H = (R − r) / h oder umgestellt: H = h ∙ R / (R − r).

H lässt sich also mit jedem Rechner ausrechnen. Beispiel für R = 25 mm, r = 18 mm, und h = 70 mm: 70 x 25 / ( 25 − 18 ) = 250. Die Höhe H auf der Mittellinie ist 250 mm.

Liegen andere Vorgaben vor, dann berechnet man zuerst die fehlenden Größen, wie unten unter 6. beschrieben, und kann dann wie hier mit dem Normalfall arbeiten.

4. Die Abwicklung
Wie man sieht, ergeben sich die Radien durch Abstände: R_A = S - B und r_A = S - C. Mit diesen wird erst einmal je ein Bogen um S geschlagen. In der grafischen Konstruktion ist das unkompliziert.

Will man genauer sein und diese berechnen, dann muss man den Satz des Pythagoras a² + b² = c² anwenden, umgeformt auf c = √ (a² + b²).

Dazu benötigt man einen technisch-wissenschaftlichen Rechner, weil auf einfachen Rechnern weder die Quadrat- noch die Wurzelfunktion verfügbar sind. Wenn kein entsprechender Rechner vorhanden ist, s. Kapitel 5.

Die Gesamthöhe H ist bereits berechnet. Den Radius R_A berechnet man dann durch Tippen H x² + R x² = √, den kleineren r_A durch ( H − h ) x² + r x² = √.

Mit obigen Zahlen aus dem Beispiel: 250² + 25² => 62500 + 625 bzw. Tippen: 250 x² + 25 x² = √ und heraus kommt 251,25 mm für den großen Radius R_A. Der kleinere r_A berechnet sich mit 250 − 70 = x² + 18 x² = √ und ergibt 180,9 mm

Abschließend muss der Fächerwinkel ε berechnet werden. Die grafische Konstruktion ist leider nicht möglich, zumindest nicht trivial. Bei der Rotation um die Mittellinie beschreibt der Punkt B einen Kreis mit dem Umfang U_R = 2 ¶ R. Die Außenseite des "Fächers" muss dieselbe Länge haben. Der volle Kreis mit 360° hat den Umfang U_A = 2 ¶ R_A. Das Verhältnis U_R / U_A ⋅ 360° ergibt den gesuchten Winkel. Eingesetzt und gekürzt ergibt sich ε = 360 x R / R_A

Wieder mit den Beispielwerten: 25 ÷ 251,25 x 360 = 35,82°

Somit ist die Geometrie der Abwicklung bestimmt. Beim Zuschneiden darf man die blaue Lasche für den Überstand nicht vergessen, zum Verkleben, Verlöten oder welche andere Verbindungsart auch immer benutzt wird.

Der nur zum Drehen benötigte Winkel β (s. Bild 1 und 2) berechnet sich mit β = arctan(R / H). Die Arcus-Tangens-Funktion findet sich auf der Rechnertastatur entweder bei INV TAN oder tan^-1, bei dem erwähnten Windows-Rechner unter "Trigonometrie" 2^nd als Taste tan^-1. Tippen: R / H = tan^-1. Beispiel: 25 / 250 = tan^-1 ergibt 5,71°

5. Technisch-wissenschaftlicher Rechner

Falls keiner vorhanden: Für Android-Smartphones gibt es im App-Store eine schöne und ziemlich perfekte Freeware-App RealCalc.

Auf Windows startet man den Rechner durch Windows + R und tippt dann calc ein. Im Rechner muss durch Drücken auf die drei Linien oben links auf "Wissenschaftlich" umgeschaltet werden. Man kann gut mit dem numerischen Block der Tastatur arbeiten. Die Winkelfunktionen stehen unter "Trigonometrie" zur Verfügung.

6. Andere Vorgaben

Es werden fehlende Größen ermittelt, um damit in die Konstruktion bzw. Berechnung nach Kapitel 3 bzw. 4 oben einzusteigen.

6.a   Gegeben sind die Länge der Mantellinie m und die beiden Radien R und r
Gesucht: h. Durch die Hilfslinie a und (R − r) wird mit der Mantellinie m ein rechtwinkliges Dreieck definiert, in dem der Satz des Pythagoras a² + b² = c² gilt, hier mit a = (R − r) und c = m, h ist gesucht. Das führt zu (R − r)² + h² = m². Aufgelöst nach h gilt h = √ (m² − ( R − r)²). Beispiel mit R = 25, r = 22, m = 80, tippen:  80 x² − ( 25 − 22 ) x² = √ Ergebnis : 79.94... Jetzt ist h bekannt und die weitere Berechnung erfolgt wie oben unter 3.1 beschrieben. Das Ergebnis für H ist dann 666,17 mm, also ein sehr schlanker Kegelstumpf. Wie man das zeichnet oder anreißt, s. u.

6.b   Gegeben sind der Öffnungswinkel β , r und die Höhe h
Vorbemerkung: Dieser und die folgenden Punkte sind typische Situationen für eine Manschette um einen vorhandenen Konus. Die Winkelmessung sollte auf Zehntelgrade genau erfolgen!
Gesucht: R.  R = r + h ⋅ tan β.

6.c   Gegeben sind der Öffnungswinkel   β , R und die Höhe h
Gesucht: r. r =  R − h ⋅ tan β.

6.d   Gegeben sind der Öffnungswinkel β , r und die Mantellinie m
Gesucht: R und h. h = m ⋅ cos β und R = r + m ⋅ sin β

6.e   Gegeben sind der Öffnungswinkel β , R und die Mantellinie m
Gesucht: r und h. h = m ⋅ cos β und r = R − m ⋅ sin β

Ohne Zeichnung: Gegeben ist das Kegelverhältnis 1 / x und zwei Größen:

    R und h, Gesucht r: r = R − h / (2 ⋅ x)

    r und h, Gesucht R: r = r + h / (2 ⋅ x)

    R und r, Gesucht: h: h = (2 ⋅ x) ⋅ (R - r)

7. Anreißen der Endpunkte der Kreisbögen

Bei kleinen Kegeln kann man den Fächerwinkel ε noch mit einem Winkelmesser anreißen, bei größeren wird das ungenau. Hier bietet das Anreißen mit der Konstruktion von Punkten auf den Kreisbögen eine wesentlich höhere Genauigkeit.

Zuerst werden die beiden Kreisbögen mit R_A und r_A angerissen.

Dann kann man entweder
die Mittellinie als Referenz nehmen, Methode 1,
oder eine der Kanten, Methode 2.

Die gerade Ausgangslinie ist immer eine Linie durch S.

Links sind die Ausgangslinien schwarz und die durch die konstruierten Punkte aufgespannten Linien grün eingezeichnet.

Methode 1:
R_k wird berechnet mit R_k = 2 ⋅ R_A ⋅ sin (ε / 4)
und r_k = 2 ⋅ r_A ⋅ sin (ε / 4)

Methode 2:
R_p wird berechnet mit R_p = 2 ⋅ R_A ⋅ sin (ε / 2)
und r_p = 2 ⋅ r_A ⋅ sin (ε / 2)

Achtung: Die Lasche muss noch zugegeben werden. Ggf. auch noch ein kleiner Zuschlag für die Blechdicke.

Beispiel mit den obigen Werten R_A = 251,25, r_A = 180,9 und ε = 35,82°.
Tippen:
für R_k: 2 x 251.25 x (35.82 / 4) sin = 78.2 mm
für r_k: 2 x 180.9 x (35.82 / 4) sin = 56.3 mm

Die zuvor genannten Formeln sind mathematisch korrekt, es gibt aber Winkelbereiche von ε, in denen die mit R_k oder R_p geschlagenen Kreisbögen den entsprechenden Bogen mit R_A nur schleifend schneiden, also eine genaue Ermittlung des Schnittpunkts nicht erlauben.

Das gilt für die Situationen, in denen R_k oder Rp Werte in der Nähe des Kreisdurchmessers kommen. Es geschieht für Methode 1, wenn ε in die Nähe von 360° kommt, für Methode 2 gilt das für Bereiche um 180°, was im linken Bild angedeutet ist.

Hier empfiehlt es sich, zuerst einmal mit R_A 90° von ε abzutragen und die Differenz
ε' = ( ε − 90°) zu berechnen und damit R_p ermitteln.

Für ε > 180° drehen sich bei Methode 2 die Richtungen um, wie im rechten Bild gezeigt. Muss im Bereich 180° < ε < 270° auch hier zuerst einmal mit R_A ein Hilfspunkt angerissen werden, dann berechnet man ε' = 360° − 90° − ε . 

8. Große Radien zeichnen bzw. anreißen

Hier zwei Beispiele, wie man Hilfszirkel für große Radien herstellt bzw. benutzt.

Oben eine Leiste, in der links eine kleine Kerbe eingefeilt wurde, in der eine Näh- oder Stopfnadel eingeklemmt ist. Neben dem Bleistift sieht man eine solche Kerbe.

Die Schieber auf dem Markierungslineal haben je ein Loch, in das Nadel und Zeichen- oder Anreißwerkzeug eingesteckt werden können. Ggf. muss man die Schieber mit Klebeband gegen Verrutschen sichern.

9. Prototyp erstellen


Hat man die Abwicklung konstruiert, so empfiehlt es sich, einen Prototypen aus Papier oder
Zeichenkarton anzufertigen, wie hier dargestellt. Die Klebelasche ist hier unten. Mit diesem Prototypen kann man leicht prüfen, ob der Kegel(-stumpf) die richtigen Form erhält.

Der mit einem Japanmesser ausgeschnittene Bogen wurde dann auch zum Anreißen auf dem Blech benutzt.

10. Exaktes Einstellen des Oberschlittens einer Drehmaschine mit einer genauen Gradskala zum Drehen eines Konus

Hier sieht man den eingangs gezeigten Blechkonus eingebaut, wobei der Hauptradius unten einen innenliegenden außen konischen Ring (h = 5 mm) zum Festschrauben am Träger hat. Der Abschlussring oben hat innen eine konische Ausdrehung (h = 5 mm).

Wer wissen will, was das ist: Ein älterer Fönkamm wurde ausgeschlachtet und zu einem sanften Heizgebläse umgebaut, dessen Temperatur zwischen 50 °C und 105 °C einstellbar ist. Es dient zum Beheizen von Klebungen mit UHU-plus, was bei erhöhter Temperatur wesentlich schneller abbindet (bei 100 °C in 10 min) und dazu noch eine wesentlich höhere Klebekraft als bei Zimmertemperatur entwickelt. Der Konus beherbergt das Heizelement des Fönkamms, darunter liegt der Motor mit dem Gebläse.

Weil hier mit Netzspannung gearbeitet wird und ein Nachbau voraussetzt, dass man weiß, was man tut, gibt es keine Bauanleitung dafür. Nur soviel: Im Originalgerät dient die Heizwicklung als Vorwiderstand für den Gleichstrommotor des Gebläses, der mit nur ca. 6 V betrieben wird. Diese Kopplung wurde getrennt, die Heizwicklung wird mit einer Phasenanschnittsteuerung direkt mit Netzstrom versorgt, der Motorversorgung übernimmt ein externes kleines schaltbares Steckernetzteil, um die Drehzahl des Gebläses steuern zu können. Bei ca. 105 °C schaltet ein Thermostat im Heizkörper ab. Das Thermostat lässt sich (leider) nicht überbrücken, ohne den vernieteten Heizkörper komplett zu zerlegen. Das war mir zu risikoreich, die Glimmerträger könnten zerbrechen. Nur durch die Überbrückung ließen sich noch höhere Temperaturen zu erzielen.